Зміст

Вступ…………………………………………………………………………………3 §1.1 Основні поняття та означення. Задача Коші 1.1.1 Основні поняття та загальні властивості розв¢язків……………………..4 1.1.2 Теореми про достатні умови існування та єдиності розв¢язку задачі Коші та неперервну залежність розв¢язку системи від початкових даних і параметрів(без доведення)………………………………………………………….5 1.1.3 Загальний, частинний і особливий розв'язки……………………………8 1.1.4 Інтеграл. Перший та загальний інтеграли. Число незалежних інтегралів……………………………………………………………………………..9 1.1.5 Пониження порядку системи з допомогою перших інтегралів….……12 1.1.6 Системи диференціальних рівнянь в симетричній формі…………….13 §1.2. Лінійні системи звичайних диференціальних рівнянь 1.2.1 Однорідні системи………………………………………………………..15 1.2.2 Лінійно незалежні розв’язки. Теореми про лінійно залежні і незалежні розв’язки…………………………………………………………………………….16 1.2.3 Інтегральна (фундаментальна) матриця………………………………..18 1.2.4 Визначник Вронського. Формула Якобі……………………………….18 1.2.5 Спряжені системи………………………………………………………..21 1.2.6 Неоднорідні системи…………………………………………………….21 1.2.7 Метод варіації довільної сталої………………………………………....22 1.2.8 Формула Коші……………………………………………………………23 §1.3 Однорідні лінійні системи диференціальних рівнянь з сталими коефіцієнтами 1.3.1 Випадки інтегрованості лінійних систем в квадратурах………………26 1.3.2 Матричний метод інтегрування однорідних стаціонарних систем…...27 1.3.3 Структура фундаментальної системи розв'язків. Метод Ейлера……...30 Висновки…………………………………………………………………………...35 Література………………………………………………………………………….36

 

Вступ

Для успішної участі у сучасному суспільному житті особистість повинна володіти певними прийомами математичної діяльності та навичками їх застосувань до розв’язання практичних задач. Певної математичної підготовки і готовності її застосовувати вимагає і вивчення багатьох навчальних предметів. Значні вимоги до володіння математикою у розв’язанні практичних задач ставлять сучасний ринок праці, отримання якісної професійної освіти, продовження освіти на наступних етапах. Системи звичайних диференційних рівнянь (СЗДР) великої розмірності є найважливішим інструментом для опису безлічі явищ та процесів різної природи. Звичайне диференціальне рівняння має безліч рішень. Для відшукання якого-небудь конкретного рішення вимагаються додаткові умови. Ці умови можуть бути різними. У випадку, коли додаткові умови задаються при одному значенні незалежної зміною, має місце задача Коші (задача з початковими умовами). Якщо ж умови задаються при двох чи більш значеннях незалежної змінної, то задача називається крайовию. У задачі Коші додаткові умови називаються початковими, а в крайовій-краєвими. Актуальність: Диференціальні рівняння та системи диференціальних рівнянь є найважливішим інструментом для опису безлічі явищ і процесів, що відбуваються в світі (фізичні, біологічні, хімічні і т.д.) Результати досліджень часто являють собою системи диференціальних рівнянь великих розмірів, що робить їх рішення дуже трудомістким, а це робить рішення задачі Коші і подальші розробки в даній області актуальними на сьогоднішній день. Мета: придбання знань, вмiнь та навичок, необхiдних для розв’язання та обчислення системи звичайних диференціальних рівнянь. Завдання : вивчення класичних і сучасних наближених методів розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь; придбання умінь використання методів розв’язання задач з початковими умовами та крайових задач для системи звичайних диференціальних рівнянь та лінійнійної системи звичайних диференціальних рівнянь.