ЗМІСТ

Вступ. 3 РОЗДІЛ І Основні поняття та теоретичні відомості 5 1.1 Хордові діаграми. Рід хордової діаграми та види діаграм. 5 1.2 Група симетрій правильного кутника та схожих з ним об’єктів. 9 1.2.1 Основні поняття теорії груп. 9 1.3 Ізоморфні та еквівалентні хордових діаграм.. 13 1.4 Лема Бернсайда та її застосування до переліку хордових діаграм. 15 Розділ ІІ. Хордові діаграми. 20 2.1 Ізоморфізм та еквівалентність хордових діаграм.. 20 2.2. Підрахунок числа нееквівалентних хордових n-діаграм при . 24 Висновки. 36 СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ.. 37

 

Вступ
Дана робота присвячена вивченню нееквівалентних хордових діаграм та застосування Леми Бернсайда. Метою роботи є підрахунок числа нееквівалентних хордових діаграм. Однією з основних задач багатьох галузей математики, зокрема диференціальної топології, є задача про класифікації вивчаємих об'єктів, яка в свою чергу, розуміє побудову повних інваріантів. В більшості випадків, для розв'язання останньої з задач ефективно використовувати комбінаторні об'єкти, а саме деякі графи з додатковою інформацією. Так наприклад, в роботах [18], [19] при класифікації векторних полів Морса-Смейла на двомірних многовидах і гладких функцій на замкнених гладких многовидах відповідно, були використані графи з відміченими вершинами, які задовольняють певним умовам. Конструкції, схожі кола з відміченими точками, були застосовані, наприклад, в роботах [20], [21], [22], при класифікації векторних полів Морса-Смейла. Зокрема, в роботах [21], [22] ці об'єкти були використані для підрахунку числа топологічно нееквівалентних мінімальних полів Морса-Смейла. В 1994 році в роботі [23] при класифікації функції Морса на орієнтовних поверхнях були використані хордові діаграми. В 2003 році з їх допомогою в роботі [19] було пред'явлено число нееквівалентних функцій Морса під дією визначеної групи. Хордові діаграми ефективно використовуються і для описання інваріантів вузлів Васильєва у роботах [16], [17]. Все вище сказане свідчить про необхідність вивчення такого комбінаторного об'єкту як хордові діаграми і похідних від них. Постанова задачі: Нехай задано коло і точок на ньому, які занумеровано числами 1, 2, 3… і є вершинами правильного кутника. Розіб’ємо вказані точки на пар, з’єднавши кожну таку пару хордою. Одержану конфігурацію називають хордовою діаграмою. Відомо, що на колі з фіксованою нумерацією вершин можна побудувати хордових діаграм. Проте серед них є такі, що суміщаються при повороті навколо спільного центра та перевороту. Такі діаграми називають еквівалентними. Суть задачі та мета роботи полягає в тому, щоб для довільного фіксованого підрахувати кількість нееквівалентних хордових діаграм. Новизною одержаних результатів є: 1. Підрахунок числа нееквівалентних діаграм для початкових ; 2. Наведення нееквівалентних діаграм з класу для . Одержані в роботі результати можуть бути ефективно використані в тих галузях математики, де виникають інваріанти, схожі до кола з відміченими точками та необхідність у підрахунку числа «різних» таких комбінаторних об’єктів.