ВСТУП
Дана робота присвячена вивченню властивостей певного класу двокольорових хордових діаграм (з хордами) та застосувань леми Бернсайда до переліку нееквівалентних об’єктів із вказаного класу. Актуальність теми. Однією з основних задач багатьох галузей математики, зокрема топології, є задача про класифікацію досліджуваних об’єктів, яка, в свою чергу, вимагає побудову повних інваріантів. Як показує досвід, в більшості випадків, для розв’язання останньої ефективно використовувати комбінаторні об’єкти – деякі графи з додатковою інформацією. Конструкції, схожі до кола з відміченими точками, були застосовані, наприклад в роботах [4], [5], [7] при класифікації векторних полів Морса-Смейла. Зокрема, в роботах [5] і [7] ці об’єкти були використані для підрахунку числа топологічно нееквівалентних мінімальних полів Морса-Смейла. В 1994 році в роботі [16] при класифікації функції Морса на орієнтовних поверхнях були використані хордові діаграми. В 2003 році за допомогою хордових діаграм певного виду в роботі [17] було пред’явлено число нееквівалентних функцій Морса під дією певної групи. Хордові діаграми ефективно використовуються і для описання інваріантів вузлів Васильєва (див. наприклад [1], [3]). У 2006 році в [11, 12] для класифікації гладких функцій певного класу на замкнених орієнтованих поверхнях були використанні двокольорові хордові діаграми спеціального виду. Все вище сказане свідчить про необхідність вивчення такого комбінаторного об’єкту як хордові діаграми та похідних від них. Об’єктом дослідження є клас двокольорових хордових діаграм з хордами (побудованих на двокольоровому шаблоні), що мають хорди, які сполучають вершин з номерами однакової парності (є хорди, що визначають дугу кола, яка містить непарну кількість вершин шаблону). Предметом дослідження є симетрії двокольорового шаблону та орбіти, утворені елементами множини під дією циклічної та діедральної груп відповідно. Метою роботи є встановлення формул для підрахунку числа як неізоморфних (з точністю до повороту), так і нееквівалентних (відносно дії діедральної групи) діаграм із зазначеного класу. Для досягнення зазначеної мети в роботі було поставлено наступні задачі: 1) підрахувати загальну кількість двокольорових діаграм, побудованих на двокольоровому шаблоні; 2) за допомогою леми Бернсайда одержати співвідношення за допомогою яких можна обчислити число як неізоморфних (відносно дії циклічної групи), так і нееквівалентних (відносно дії діедральної групи) діаграм з вказаного класу; 3) встановити критерій «ізоморфності» двох діаграм із вказаного класу та підрахувати число таких діаграм, які само суміщаються при повороті на кут ( ); 4) встановити критерій «симетричності» двокольорових діаграм відносно певної осі симетрії двокольорового шаблону, та в кожному з випадків підрахувати число таких діаграм. Методи дослідження. Для досягнення зазначеної мети, поставлених у роботі задач були використані як загальні комбінаторно-геометричні методи, так і методи теорії перерахування комбінаторних об’єктів, розроблену Д. Пойа та низкою інших математиків. Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати, одержані в роботі, є новими, а саме: 1) встановлено формули для підрахунку числа неізоморфних (з точністю до повороту) діаграм з класу при довільному ; 2) встановлено формули для підрахунку числа нееквівалентних (відносно діедральної групи) діаграм з класу при довільному ; 3) для початкових наведено всі як не ізоморфні, так і нееквівалентні діаграми з класу . Практичне значення одержаних результатів. Одержані в роботі результати можуть бути ефективно використані в тих галузях математики та біології, де виникають інваріанти, схожі до кола з відміченими точками. Задача про підрахунок числа нееквівалентних діаграм (з хордами) з фіксованими числами чорних і білих циклів (фіксованого роду) є рівносильною задачі про підрахунок числа топологічно нееквівалентних функцій з трьома критичними значеннями на неорієнтованих поверхнях відповідного роду, у яких окрім локальних максимумів та локальних мінімумів є лише одна критична точка типу сідла. Особистий внесок. Визначення напрямку дослідження, а також постановка задач належать науковому керівнику – кандидату фізико-математичних наук, доценту кафедри геометрії та методики викладання математики Кадубовському О.А. Всі результати роботи отримано у співавторстві з науковим керівником. Апробація результатів дипломної роботи. Результати роботи доповідались на щорічній конференції студентів та молодих науковців Слов’янського державного педагогічного університету, керівник секції – кандидат фізико-математичних наук, завідувач кафедри геометрії та методики викладання математики О.В. Чуйко. Основні результати роботи опубліковано у збірнику наукових праць «ПОШУКИ І ЗНАХІДКИ. Серія: фізико-математичні науки» // Матеріали наукової конференції СДПУ – 2010 / Укладач В.К. Сарієнко. – Слов’янськ: СДПУ, 2010. – Вип. 10, Том I. – С. 41-50. Структура дипломної роботи. Дипломна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 19 найменувань (на 2 сторінках). Повний обсяг роботи становить 53 сторінок. Короткий зміст дипломної роботи. Перший розділ – теоретичний. В ньому наводяться визначення понять, що використовуються в роботі та необхідні факти з теорії скінчених груп та теорії переліку комбінаторних об’єктів. У другому розділі для початкових наведено всі не ізоморфні та нееквівалентні діаграми з класу відповідно. В третьому розділі – підраховано число діаграм з класу , які само суміщаються при повороті на кут ( ) – Наслідок 3.2; – встановлено формулу для підрахунку числа неізоморфних діаграм з класу – Теорема 3.1. В четвертому розділі – підраховано число діаграм з класу , які є симетричними відносно фіксованої осі (з трьох можливих серій) симетрії шаблону – лема 4.1; – встановлено формулу для підрахунку числа нееквівалентних діаграм з класу – теорема 4.1. У висновках наведено основні результати дослідження.